GMAT Probability, Permutations, Combinations Gözünde Büyüyor

GMAT Focus Edition Quant çalışırken Probability (olasılık), Permutation (sıralama), Combination (seçim) ve Factorial (n! çarpımı) bir anda üstüne üstüne mi geliyor?
Formüller, semboller, uzun İngilizce metinli sorular ve bir de 45 dakikaya sıkışmış 21 soru olunca beynin kilitlenmesi çok normal.

Bu konuları çözebilmek sadece Quant skorunu yükseltmiyor, toplam GMAT puanını da yukarı çekiyor. O da Business School başvurunda daha güçlü bir profil, hatta burs şansının artması demek. Yani burada kazanacağın her puanın gerçek bir karşılığı var.

Bu yazının amacı net: Sana basit bir çerçeve, net karar adımları ve tekrar tekrar kullanabileceğin bir yöntem vermek. 8. sınıf seviyesinde düşüneceğiz, ama terimler İngilizce kalacak, yanına kısa Türkçe açıklama koyacağız.

GMAT Focus Quant’ta Probability ve Counting Neden Bu Kadar Zor Geliyor?

Photo by Andrea Piacquadio

GMAT sorularını açtığında çoğu zaman his şu oluyor: “Bunu okulda görmüştüm ama bu formda hiç görmemiştim.”
Soru tek bir zar veya kart örneğiyle bitmiyor, uzun bir senaryo içinde gizleniyor.

GMAT Focus Quant artık Data Sufficiency sormuyor, ama Problem Solving sorularının metinleri uzun, süren kısıtlı ve hesap makinesi yok. Probability ve Counting soruları bu yüzden daha da stresli görünüyor. Bir de soru kökünün İngilizce olması, metni ikinci kez okumayı gerektirince panik artıyor.

Sadece Formülleri Ezberlemek Neden İşe Yaramıyor?

Birçok öğrenci Permutation (nPr), Combination (nCr) ve temel Probability formüllerini tablo gibi ezberliyor.
Sonra soru biraz senaryo değiştirince, “Hangisini kullanacaktım?” sorusunda takılıyor.

Asıl problem şu: Order matters (sıra önemli) ve order does not matter (sıra önemsiz) ayrımını içgüdüsel hale getirmeden, formül isimleri sadece sembol olarak kalıyor. Bu durumda, aynı soruya her baktığında sıfırdan düşünmen gerekiyor, hızın düşüyor ve hata oranı artıyor.

GMAT Stili: Kısa Zaman, Uzun Metin ve Gizli Bilgiler

GMAT Focus Edition, özellikle Probability ve Counting sorularında uzun senaryolar ve küçük kelime oyunları kullanmayı seviyor.
“Except”, “at least”, “at most”, “must be” gibi kelimeler tek başına tüm çözümü değiştiriyor.

Zaman baskısı altında çoğu aday “hızlıca formül uygulayayım” moduna giriyor. Sonra da ortada net bir slot planı olmadığı için gereksiz hesap yapıyor. Bu noktada ihtiyaç duyduğun şey, yeni bir zihinsel şablon ve soruyu parçalayacak bir karar ağacı.

Temel Matematik Güçlü Bile Olsa Neden Takılabiliyorsun?

Algebra, Linear Equations, Quadratics ve Arithmetic konusunda kendine güvenip yine de Permutations & Combinations sorularında kitlenmen gayet mümkün.
Çünkü buradaki hata, “işlem bilmemek” değil, “nereden başlayacağını bilmemek”.

Mantık akışını kuramazsan, en güçlü hesap kasın bile seni kurtarmıyor. Bu yazıda hedef, sana o mantık akışını vermek ve her Probability veya Counting sorusunda tekrar edebileceğin bir mini algoritma oluşturmak.

Önce Temeli Temizle: Counting, Factorial, Permutation, Combination Arasındaki Net Fark

Bu bölüm, tüm çerçevenin iskeleti. Formüllere değil, ne zaman hangisini seçeceğine odaklanacağız.

Counting Principle: Kaç Aşama Var, Kaç Seçim Var?

Fundamental Counting Principle, Türkçe haliyle “her adım için seçenekleri çarpma fikri” aslında başlangıç noktası.
Burada sık kullanacağımız fikir, slot method yani “kutucuk yöntemi”.

Zihninde boş kutular düşün:
Örneğin 2 tişörtün ve 3 pantolonun var. Bir kombin yapmak için 2 slot var, “üst” ve “alt”. Üst için 2 seçenek, alt için 3 seçenek düşünürsen, toplam 2 × 3 farklı kombin çıkıyor. Daha karmaşık GMAT sorularında da önce “kaç slot var, her slot için kaç seçenek var” diye düşünmek, formül aramaktan daha güvenli.

Factorial (n!) Kavramını Gerçekten Anlamak

Factorial, yani n! aslında “n farklı şeyi sıraya dizmenin” sayısını veriyor.
3 kitap düşün: A, B, C. Hepsini rafa dizerken kaç farklı sıralama olur? A ile başlayabilirsin, B ile başlayabilirsin, C ile başlayabilirsin. Her birinde kalanlar yine sıralanır ve toplam 3! farklı düzen oluşur.

Küçük değerlerle (3!, 4!, 5!) oynayıp bu sayıları gerçekten hissettiğinde, Permutation ve Combination ifadeleri gözünde formül değil, mantıklı bir kısayol haline gelir. Daha teknik bir tekrar için, Florida State University’nin hazırladığı kısa notlara da bakabilirsin, içinde Factorial, Permutation ve Combination özetleri var: Factorials, Permutations and Combinations.

Permutation Ne Zaman Kullanılır? (Order Matters Mantığı)

Permutation, sıra veya yerlerin önemli olduğu durumlar için.
Kendine şu testi sor: “Yerleri değiştirirsem sonuç farklı sayılır mı?”

Kuyrukta dizilen insanlar, otobüste koltuklara oturma düzeni veya 4 haneli bir şifre, hepsi Permutation tipi durumlar. Mesela GMAT sorusunda “in how many distinct orders can these projects be scheduled” diyorsa, zihninde hemen Permutation etiketi yanmalı.

Combination Ne Zaman Kullanılır? (Order Does Not Matter Mantığı)

Combination, sadece kimlerin seçildiği önemli olduğunda devreye giriyor.
Sıra, rol veya pozisyon önemli değilse Combination düşün.

Örneğin 6 kişiden 3 kişilik bir komite kurmak Combination olur, çünkü “Ayşe, Ali, Can” ile “Ali, Ayşe, Can” aynı komite. Ama aynı 6 kişiden “başkan, başkan yardımcısı ve sekreter” seçiyorsan, roller değişince durum değişir, bu artık Permutation olur.

Probability ile Counting Nasıl Bağlanır?

Çoğu GMAT Probability sorusu, aslında tek bir fikre indirgeniyor:
“Favorable outcomes / total outcomes”, yani “istenen durum sayısı / tüm mümkün durum sayısı”.

Total partisini bulmak için bazen sadece Counting Principle kullanırsın, bazen Permutation, bazen Combination kullanırsın. İstenen durum sayısı için de aynı araçlar devrededir. Bu üç başlığı ayrı konular yerine, Probability içindeki araç kutusu gibi düşünmek işini çok kolaylaştırır.

GMAT Probability, Permutations ve Combinations Sorularında Adım Adım Düşünme Şablonu

Şimdi her soruda kullanabileceğin küçük bir “recipe” oluşturalım. Panik anında bile bu 5 adımı hatırlayabilirsin.

Adım 1: Soru Tam Olarak Ne İstiyor?

Önce soru kökünü temizle.
“How many ways”, “in how many distinct orders”, “what is the probability” gibi ifadeleri yakala.

Buna göre soruyu kafanda etiketle:
Bu bir pure counting (sadece sayma) sorusu mu, Permutation, Combination ya da Probability oranı mı?

Adım 2: Order Matters mı, Order Does Not Matter mı?

Her soruda kendine bu soruyu sor: “Sıra önemli mi, değil mi?”

Oturma düzeni, sıra, koltuk, pozisyon, rol, ranking gibi kelimeler varsa Permutation tarafına git.
Sadece bir grup seçiyorsan, kim önce yazıldı hiç fark etmiyorsa Combination tarafına geç.

Yanlış seçersen sonuç sayısı genelde ya çok büyük ya da çok küçük çıkar, bu da seçeneklerden hemen fark edilir.

Adım 3: Restrictions ve Special Conditions’ı Tespit Et

GMAT uzun cümlelerin içine küçük kısıtlar saklar: “at least”, “at most”, “exactly”, “must be together”, “cannot be together” gibi.

Soru metnini okurken bu kelimelerin altını çiz, yanına kısaca ≥, ≤, = gibi işaretler koy.
İki kişinin yan yana olması gerekiyorsa, o ikiliyi tek bir blok gibi düşünmek çoğu zaman en basit çözümdür.

Adım 4: Slot Method ile Adımları Parçala ve Çarp

Şimdi slot methodu uygulama zamanı.
Kaç slot var, her slot için kaç seçenek var, bunları sırayla yaz.

Önce yapıyı kur, sonra gerekirse Permutation veya Combination adı ver. Bu yaklaşım, “direkt formül yazayım” refleksinden daha az hata üretir ve GMAT süresi içinde seni rahatlatır.

Adım 5: Probability Sorularında Favorable ve Total’ı Ayrı Ayrı Kur

Probability sorularında önce total sample space için mantıklı bir model kur.
Bu kısımda bazen Combination, bazen Permutation, bazen de düz Counting Principle kullanırsın.

Sonra ayrı bir adımda favorable durumları say. Bazı sorularda her ikisi de Combination olur, bazılarında biri Permutation olur, diğeri basit Counting olur. Önemli olan, bu ikisini zihninde karıştırmaman.

GMAT’te Probability ve Combinatorics Sorularında En Sık Yapılan Hatalar ve Nasıl Kaçınılır?

Permutation ve Combination’ı Karıştırmak

En klasik hata, her soruya aynı gözle bakmak.
Kimisi her şeye Combination uygular, kimisi her durumu Permutation sanır.

Çözüm basit: Her soru için yüksek sesle (içinden) şu soruyu sor: “Order matters mı, order does not matter mı?” Bunu küçük bir ritüel haline getir.

Double Counting (Aynı Durumu İki Kez Saymak)

Özellikle identical items (aynı tip objeler) ve grouping sorularında aynı düzeni fark etmeden iki kere saymak kolaydır.

Mesela aynı harfleri içeren bir kelimenin düzenlemelerinde bu çok görülür. Emin olamadığında, daha küçük bir örnekle elinle yazarak kontrol etmek iyi bir alışkanlık olur. Combinatorics ile ilgili daha gelişmiş fikirler için Carnegie Mellon’un ders notlarına göz atabilirsin: Lecture notes for 21-301: Combinatorics.

Restrictions’ı Gözden Kaçırmak veya Yanlış Yere Uygulamak

Uzun metinli sorularda “en az”, “en çok”, “tam olarak”, “birlikte olmak zorunda” gibi kısımlar çok çabuk kayboluyor.

Okurken her kısıtı ayrı satıra not al, sembollerle özetle.
Önce tamamen kısıtsız bir total düşünmek, sonra kısıt ekleyip eleme yapmak, bazen de doğrudan kısıda göre model kurmak daha mantıklı olabilir. İki yolu da denemeyi öğrenmek hız kazandırır.

Probability’de Yanlış Payda Kullanmak

Çoğu büyük hata, yanlış sample space seçmekten geliyor.
Özellikle “zaten bir olay olmuşken” sorulan conditional tarzı sorularda, yeni totale göre düşünmek gerekiyor.

Burada formül ezberinden çok, hikayeyi sade bir şekilde yazmak önemli. Gerekirse küçük bir tablo çizmek, kafandaki olasılık ağacını netleştirir.

Gereksiz Hesap Yapmak ve Zaman Kaybetmek

GMAT Focus Quant’ta zaman yönetimi kritik.
Dev factoriel hesaplamalarıyla uğraşmak yerine, sadeleştirerek yazmaya çalış.

Bazı sorularda tam sayısal değer bile gerekmiyor, sadece hangi seçeneğin daha büyük olduğunu bulmak yetiyor. Bu tip sorularda, sayıları baştan sona çarpmak yerine ifade karşılaştırmaları yaparak hızlanabilirsin. UCLA’nın kısa çalışma kağıdı pratik birkaç soru için faydalı olabilir: Permutations and combinations worksheet.

Etkili Çalışma Planı: GMAT Probability ve Combinatorics’i Kısa Sürede Nasıl Toparlarsın?

Önce Temel Teoriyi Sadeleştir: Kendi Özet Notunu Yaz

İlk adım olarak 1–2 sayfalık mini bir “cheat sheet” hazırla.
İçinde sadece şu başlıklar olsun: Counting Principle, Factorial, Permutation (order matters), Combination (order does not matter), basic Probability (kesir mantığı).

Bunları kendi kelimelerinle, örneklerle yaz. Kopyala yapıştır yapma.
Bu küçük çalışma, beyninin konuları tek sayfalık net bir resim halinde görmesini sağlar.

Sonra Tek Tip Konulu Setler Çöz (Karışık Değil, Odaklı)

Başlangıçta tam GMAT tarzı karışık testler yerine, sadece Probability veya sadece Permutations & Combinations içeren setler çöz.

Böylece beynin benzer patternleri art arda görünce daha hızlı tanımaya başlar. Her sorudan sonra 10–15 saniye durup “Bunu başka nasıl çözebilirdim?” diye düşünmek, esnekliğini güçlendirir. Genel tekrar için, GRE odaklı da olsa sağlam bir özet olan GRE Math Review belgesine de göz atabilirsin.

Resmi GMAT Benzeri Kaynaklardan ve .edu Sitelerden Yararlan

University seviyesindeki introductory combinatorics veya probability lecture notes setleri, kavramı oturtmak için çok iş görüyor.
Örneğin kombinatorik giriş notları içeren şu kaynak iyi bir başlangıç olabilir: An Introduction to Combinatorics and Graph Theory.

Bu tür notlar GMAT’e özel yazılmamış olsa da, Permutation, Combination ve Counting mantığını derinlemesine oturtur. Sonra bu kavramları GMAT soru stiline uyarlamak çok daha kolay gelir.

Sonuç: Doğru Şablonla Probability Artık Korkulacak Konu Değil

Başta karmaşık görünen Probability, Permutation ve Combination konuları, aslında birkaç net karara indirgenebiliyor. Temel farkları biliyorsun, her soruda aynı 4–5 adımı izleyebileceğini gördün ve sık yapılan hataların nereden geldiğini artık tanıyorsun.

Şimdi sırada, bir sonraki çalışma seansında bu şablonu gerçekten denemek var.
İlk denemede bile küçük bir hız veya netlik artışı fark edersen, motivasyonun otomatik yükselir. Birkaç hafta düzenli, odaklı pratikle bu konuları zayıf nokta değil, güçlü taraf haline getirebilirsin.